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"Per la prossima generazione."
Nella combinatoria, le variazioni sono usate per contare i modi possibili di disporre un numero scelto di elementi da un insieme più grande dove l'ordine è importante. Questo approccio è cruciale per compiti come classificare, codificare, creare password o far sedere persone, specialmente quando conta chi è primo, secondo, terzo, e così via.
Con le variazioni, non è necessario usare tutti gli elementi dell'insieme. Da un insieme con n elementi, scegliamo k elementi (dove k ≤ n) e li disponiamo in una sequenza ordinata.
Quando non permettiamo la ripetizione di elementi, stiamo parlando di variazioni senza ripetizione. Il numero di queste variazioni è denotato da V(n, k) ed è calcolato usando la formula:
V(n, k) = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - k + 1)
O, scritto con i fattoriali:
V(n, k) = n! / (n - k)!
ESEMPIO: Quanti numeri diversi di due cifre possono essere fatti usando le cifre da 1 a 5, senza ripetizione?
V(5, 2) = 5 * 4 = 20
Se la ripetizione è consentita, allora ognuna delle k posizioni può essere riempita con qualsiasi degli n elementi, indipendentemente da cosa è già stato scelto.
La formula per le variazioni con ripetizione è:
V'(n, k) = n^k
ESEMPIO: Quanti numeri diversi di due cifre possono essere fatti usando le cifre da 1 a 5 se la ripetizione è consentita?
V'(5, 2) = 5^2 = 25
ESEMPIO: Dato l'insieme {A, B, C}, quindi n = 3:
Le variazioni appaiono in vari contesti:
Le variazioni sono uno strumento fondamentale nella combinatoria per gestire la selezione ordinata di un numero minore di elementi da un insieme dato. Distinguiamo tra casi con e senza ripetizione, ma in ogni scenario, il punto chiave è che l'ordine degli elementi selezionati non è trascurabile e impatta direttamente sul risultato finale.