Punti Stazionari, Funzioni Crescenti e Decrescenti

Introduzione al Comportamento delle Funzioni

Per comprendere il comportamento di una funzione e determinare le sue proprietà chiave, usiamo l'analisi della sua derivata. Una delle proprietà più importanti che scopriamo in questo modo è dove la funzione è crescente, dove è decrescente e dove ha i suoi valori estremi. I cosiddetti punti stazionari, che sono determinati usando la derivata prima, servono a questo scopo.

Definizione di Punti Stazionari

Sia 'f' una funzione differenziabile. Un punto x₀ è stazionario se f'(x₀) = 0. In tale punto, la tangente al grafico della funzione cambia da crescente a decrescente, o viceversa – o rimane orizzontale.

I punti stazionari possono essere:

• Un minimo locale, se la funzione in questo punto raggiunge il valore più piccolo in un certo intorno.
• Un massimo locale, se raggiunge il valore più grande in un intorno.
• Un punto di flesso (o punto di sella), se la direzione della funzione non cambia (ad esempio, rimane crescente), ma la forma del grafico (concavità) cambia intorno a questo punto. (Nota: I punti di flesso sono più formalmente identificati usando la derivata seconda o i cambiamenti nella concavità, ma una tangente orizzontale in un punto di flesso significa f'(x)=0).

Natura Crescente e Decrescente di una Funzione

Usando la derivata, possiamo anche determinare gli intervalli dove una funzione è crescente o decrescente:

• Se f'(x) > 0 per tutti x in un certo intervallo, allora la funzione è crescente in quell'intervallo.
• Se f'(x) < 0 per tutti x in un certo intervallo, la funzione è decrescente in quell'intervallo.
• Se f'(x) = 0 in punti individuali, questi sono potenziali punti stazionari.

Queste informazioni sono spesso raccolte in una tavola dei segni per la derivata, che aiuta a tracciare il grafico della funzione.

Esempio: Funzione F(X) = X³ - 3X² + 2

Prima, troviamo la derivata: f'(x) = 3x^2 - 6x.

Poi, risolviamo l'equazione f'(x) = 0: 3x^2 - 6x = 0 → x(3x - 6) = 0 → x = 0 o x = 2. Questi sono i punti stazionari.

Quindi, verifichiamo il segno della derivata negli intervalli definiti da questi punti:

• Per x < 0: Scegliamo un valore di prova, ad esempio, x = -1. f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0 → la funzione è crescente.
• Per 0 < x < 2: Scegliamo un valore di prova, ad esempio, x = 1. f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0 → la funzione è decrescente.
• Per x > 2: Scegliamo un valore di prova, ad esempio, x = 3. f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0 → la funzione è nuovamente crescente.

Da questo, concludiamo che in x = 0 c'è un massimo locale, e in x = 2 c'è un minimo locale.

Conclusione

I punti stazionari sono fondamentali nell'analisi delle funzioni, poiché segnano i luoghi dove la direzione del grafico cambia. Usando la derivata, determiniamo dove una funzione è crescente o decrescente, il che consente una comprensione precisa del suo comportamento e andamento.