Funzione Inversa

Definizione e Significato

Una funzione inversa è una funzione che "inverte" l'azione della funzione originale. Se una funzione 'f' mappa un elemento 'x' in 'y', allora la sua funzione inversa, denotata come f^(-1), mappa 'y' di nuovo in 'x'. La condizione affinché esista una funzione inversa è che la funzione originale deve essere biunivoca, il che significa che è sia iniettiva (valori di 'x' diversi producono valori f(x) diversi) che suriettiva (ogni valore 'y' nel codominio/insieme immagine viene raggiunto).

Matematicamente, scriviamo: Se f(x) = y, allora f^(-1)(y) = x, il che significa anche: f(f^(-1)(x)) = x e f^(-1)(f(x)) = x.

Caratteristiche di una Funzione Inversa

• Il dominio della funzione 'f' diventa l'insieme immagine della funzione f^(-1).
• L'insieme immagine della funzione 'f' diventa il dominio della funzione f^(-1).
• Il grafico della funzione f^(-1) è un'immagine speculare del grafico della funzione 'f' rispetto alla retta y = x.

Procedimento per Determinare la Funzione Inversa

1. Scrivere f(x) come un'equazione: y = f(x).
2. Scambiare i ruoli di x e y: x = f(y).
3. Risolvere l'equazione risultante per y – questo diventa f^(-1)(x).
4. Determinare il nuovo dominio e insieme immagine per f^(-1)(x).

Esempio

Sia la funzione f(x) = 2x + 3.

• Passo 1: y = 2x + 3
• Passo 2: x = 2y + 3
• Passo 3: x - 3 = 2y → y = (x - 3)/2
• Quindi: f^(-1)(x) = (x - 3)/2

Verifichiamo: f(f^(-1)(x)) = 2 * [(x - 3)/2] + 3 = x - 3 + 3 = x f^(-1)(f(x)) = ((2x + 3) - 3)/2 = 2x/2 = x

Funzioni Inverse per Alcune Funzioni Comuni

• f(x) = x^3 → f^(-1)(x) = radice cubica di x (l'inversa esiste su R - tutti i numeri reali)
• f(x) = x^2 → non invertibile su R perché non è iniettiva; diventa invertibile se il dominio è ristretto a [0, ∞)
• f(x) = e^x → f^(-1)(x) = ln(x)

Conclusione

Una funzione inversa esprime la reversibilità di una mappatura matematica. La sua definizione si basa sullo scambio della dipendenza tra input e output. Affinché esista, la funzione originale deve essere biunivoca. La funzione inversa svolge un ruolo importante in algebra, analisi e nella risoluzione di equazioni dove vogliamo "annullare" l'operazione di una funzione.