Funzione Logaritmica

Definizione e Forma

Una funzione logaritmica è la funzione inversa di una funzione esponenziale. È scritta nella forma: f(x) = log_a(x), dove 'a' è la base del logaritmo, a > 0, e a ≠ 1. La funzione è definita per x > 0, poiché il logaritmo non è definito per zero o numeri negativi nei numeri reali.

Interpretazione matematica: Se f(x) = log_a(x), allora questo significa: a^(f(x)) = x, il che significa che il logaritmo ci dice a quale potenza la base 'a' deve essere elevata per ottenere il numero 'x'.

Dominio e Codominio

• DOMINIO (Df): (0, ∞) (numeri reali positivi)
• CODOMINIO (Zf): R (i valori del logaritmo possono essere qualsiasi numero reale)
• La funzione è continua e strettamente monotona (crescente o decrescente, a seconda della base 'a').

Comportamento della Funzione Basato sulla Base

• Se a > 1, la funzione è crescente.
• Se 0 < a < 1, la funzione è decrescente.

In entrambi i casi, valgono le seguenti:

• f(1) = log_a(1) = 0
• lim (quando x → 0+) log_a(x) = -∞
• lim (quando x → ∞) log_a(x) = ∞ (se a > 1) o = -∞ (se 0 < a < 1)

Proprietà Grafiche

• La funzione ha uno zero solo nel punto x = 1, dove vale sempre log_a(1) = 0.
• Ha un asintoto verticale in x = 0, poiché la funzione logaritmica si avvicina a -∞ quando x si avvicina a 0 da destra.
• È l'inversa della funzione esponenziale: se f(x) = log_a(x), allora f^(-1)(x) = a^x.

Esempi Comuni

• log(x) – logaritmo comune (base 10)
• ln(x) – logaritmo naturale (base e ≈ 2,718)

Esempio di Calcolo

Sia f(x) = log_2(x):

• f(1) = 0
• f(2) = 1
• f(8) = 3
• f(0,5) = -1

La funzione è crescente; tutti i valori di x > 0 hanno un logaritmo corrispondente.

Conclusione

La funzione logaritmica è un concetto essenziale in matematica, poiché consente di risolvere equazioni con incognite nell'esponente e di trattare relazioni inverse tra quantità. Descrive accuratamente crescita o decadimento lento ed è l'immagine speculare della funzione esponenziale rispetto alla retta y = x. Grazie alle sue caratteristiche, è indispensabile nelle equazioni logaritmiche, nell'analisi e nella modellazione di processi matematici.