Definizione e Forma
Una funzione potenza è una funzione della forma f(x) = x^n, dove 'n' è un numero reale qualsiasi. L'esponente 'n' determina le proprietà della funzione: il suo dominio, codominio, l'andamento del suo grafico, così come la sua simmetria e monotonia. Le funzioni potenza includono numeri naturali, così come numeri negativi e razionali nell'esponente.
A seconda del valore dell'esponente 'n', distinguiamo diversi casi con forme e comportamenti caratteristici della funzione.
Esempi per Esponente
n ∈ N (Numeri Naturali)
- f(x) = x^2 – parabola, una funzione pari, il grafico è simmetrico rispetto all'asse y.
- f(x) = x^3 – una funzione dispari, il grafico è simmetrico rispetto all'origine.
n = 1
- f(x) = x – una funzione lineare, la funzione identità.
n < 0 (Numeri Negativi)
- f(x) = x^(-1) = 1/x – una funzione razionale con asintoti (x ≠ 0), una funzione dispari.
- f(x) = x^(-2) = 1/x^2 – positiva per tutti x ≠ 0, una funzione pari.
n = 0
- f(x) = x^0 = 1 per x ≠ 0 – una funzione costante (solitamente definita come f(x) = 1).
n ∈ Q (Numeri Razionali)
- f(x) = x^(1/2) = sqrt(x) (radice quadrata di x) – definita solo per x >= 0, crescente, né pari né dispari.
- f(x) = x^(1/3) = radice cubica di x – definita su R (tutti i numeri reali), una funzione dispari.
Proprietà Basate sull'Esponente
- Se 'n' è un intero dispari, la funzione è dispari: vale f(-x) = -f(x).
- Se 'n' è un intero pari, la funzione è pari: vale f(-x) = f(x).
- Se n < 0, la funzione ha asintoti, spesso non è definita per x = 0.
- Se 'n' è razionale (come una frazione m/k), la funzione è definita solo dove la radice k-esima è definita (ad esempio, sqrt(x) solo per x >= 0).
Dominio e Codominio
Questi dipendono dall'esponente:
- f(x) = x^n, n ∈ N → Dominio (Df) = R, Codominio (Rf) = R (se n è dispari), Rf = [0, ∞) (se n è pari e positivo)
- f(x) = x^(-1) → Df = R \ {0}, Rf = R \ {0} (numeri reali escluso 0)
- f(x) = sqrt(x) → Df = [0, ∞), Rf = [0, ∞)
Esempio
Sia f(x) = x^3.
- Df = R, Rf = R.
- f(-2) = -8, f(2) = 8 → la funzione è dispari.
- Il grafico passa per l'origine ed è crescente su tutto il suo dominio.
Conclusione
La funzione potenza è una delle famiglie fondamentali di funzioni. La sua forma e le sue proprietà dipendono direttamente dall'esponente. Con esse, studiamo diversi tipi di crescita, simmetria e il comportamento della funzione nei suoi domini. Grazie alla sua struttura semplice e alla diversità a seconda dei valori di 'n', questa funzione occupa un posto importante nell'analisi matematica.
