Trovare gli Zeri di un Polinomio

Introduzione e Obiettivo

Trovare gli zeri di un polinomio significa risolvere l'equazione P(x) = 0, dove P(x) è un polinomio con coefficienti reali o razionali. L'obiettivo è determinare tutti i valori di x per i quali il polinomio ha un valore di 0. Questi valori sono fondamentali per la fattorizzazione, la rappresentazione grafica e ulteriori procedure algebriche come divisione e semplificazione di espressioni.

Un polinomio di grado 'n' ha al massimo 'n' zeri reali o complessi, contando le molteplicità.

Metodi per Trovare gli Zeri

1. Mettere in Evidenza il Massimo Comun Divisore (MCD)

Se tutti i termini hanno un fattore comune, prima metterlo in evidenza per semplificare il polinomio.

Esempio: P(x) = x^3 - x^2 = x^2(x - 1) → Zeri: x = 0 (con molteplicità 2), x = 1.

2. Fattorizzazione del Polinomio

Se il polinomio può essere riscritto come prodotto di fattori di grado inferiore, gli zeri possono essere trovati da ogni fattore.

Esempio: P(x) = (x - 2)(x + 3)(x - 1) → Zeri: x = 2, x = -3, x = 1.

3. Teorema delle Radici Razionali (Per Polinomi con Coefficienti Interi)

Se un polinomio con coefficienti interi ha zeri razionali, sono della forma: x = ±p/q, dove 'p' è un divisore del termine costante (a_0), e 'q' è un divisore del coefficiente principale (a_n).

Esempio: P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6

Possibili zeri razionali (divisori di 6 divisi per divisori di 1): ±1, ±2, ±3, ±6.

Testando: P(1) = 1^3 - 2(1)^2 - 5(1) + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0 → x = 1 è uno zero.

4. Algoritmo di Horner (Divisione Sintetica)

Una volta che uno zero 'c' è noto, il polinomio può essere diviso per (x - c) usando l'algoritmo di Horner (o divisione sintetica) per trovare il quoziente rimanente, i cui zeri possono poi essere cercati.

Esempio: P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6

Testa P(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 → x = 1 è uno zero.

Dividi P(x) per (x - 1): Il quoziente è x^2 - 5x + 6.

Fattorizzando il quadratico: x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) → Gli zeri del quoziente sono x = 2, x = 3.

Zeri finali: x = 1, x = 2, x = 3.

5. Formule per Casi Speciali

6. Polinomio Quadratico

P(x) = ax^2 + bx + c → Zeri usando la formula quadratica: x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a

• POLINOMI CUBICI O DI GRADO SUPERIORE: Se la fattorizzazione o il teorema delle radici razionali non è immediato, potrebbero essere necessari metodi numerici o tecniche più avanzate.

7. Metodo Grafico

Gli zeri possono anche essere approssimati osservando il grafico della funzione f(x) = P(x) – i punti dove il grafico interseca l'asse x corrispondono agli zeri reali.

Conclusione

Trovare gli zeri di un polinomio è un processo sistematico basato sulla fattorizzazione, test di valori razionali, divisione e utilizzo di formule note. La conoscenza dei metodi per trovare gli zeri consente di comprendere la struttura di un polinomio, la sua fattorizzazione e la preparazione per risolvere equazioni più complesse.