Zeri di un Polinomio

Definizione e Significato

Gli zeri di un polinomio sono quei valori della variabile x per i quali il polinomio è uguale a zero. Se P(x) è un polinomio dato, allora x_0 è il suo zero se:

P(x_0) = 0

Risolvere l'equazione P(x) = 0 significa trovare tutti gli zeri del polinomio. Questi valori svolgono un ruolo chiave nella fattorizzazione, rappresentazione grafica e nell'analisi delle funzioni, poiché indicano i punti dove il grafico del polinomio interseca l'asse x.

Relazione tra Zeri e Fattori

Se x_0 è uno zero di un polinomio, allora (x - x_0) è un divisore (fattore) di quel polinomio. Viceversa, se un polinomio ha un fattore (x - c), allora c è il suo zero. Questo è noto come Teorema dei Fattori.

Esempio: Se P(x) = (x - 2)(x + 1), allora i suoi zeri sono x = 2 e x = -1.

Numero di Zeri

Un polinomio di grado 'n' (dove n >= 1) ha al massimo 'n' zeri reali, ed esattamente 'n' zeri complessi se li contiamo con molteplicità. La molteplicità indica quante volte un particolare zero si ripete come soluzione.

Ad esempio: P(x) = (x - 3)^2(x + 2) ha:

• uno zero in 3 con molteplicità 2,
• uno zero in -2 con molteplicità 1.

Zeri Reali e Complessi

• Un polinomio con coefficienti reali può avere zeri reali o complessi.
• Se un polinomio ha coefficienti reali, qualsiasi zero complesso si presenta sempre in coppie coniugate (ad esempio, se z è uno zero, allora il suo coniugato, coniugato(z), è anche uno zero).

Metodi per Trovare gli Zeri

• Risolvere l'equazione P(x) = 0 direttamente o usando formule (come la formula quadratica per grado 2).
• Fattorizzare il polinomio in fattori più semplici.
• Usare l'algoritmo di Horner (divisione sintetica) per dividere il polinomio e testare possibili zeri.
• Usare il Teorema delle Radici Razionali – se tutti i coefficienti sono interi, gli zeri razionali vengono cercati tra i divisori del termine costante divisi per i divisori del coefficiente principale.

Esempio

Sia P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6. Stiamo cercando i suoi zeri:

1. Usando il Teorema delle Radici Razionali: Possibili candidati razionali (divisori di -6 divisi per divisori di 1): ±1, ±2, ±3, ±6.
2. Testare i candidati: P(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 → x = 1 è uno zero.
3. Dividere P(x) per (x - 1) usando la divisione sintetica o la divisione lunga. Il quoziente sarà x^2 - 5x + 6.
4. Trovare gli zeri del quoziente: x^2 - 5x + 6 = 0 Questo può essere fattorizzato come (x - 2)(x - 3) = 0. Quindi, gli zeri rimanenti sono x = 2 e x = 3.

Zeri finali: x = 1, x = 2, x = 3.

Significato Grafico

Ogni zero reale di un polinomio è la coordinata x di un punto di intersezione del grafico della funzione f(x) = P(x) con l'asse x.

• Se uno zero ha molteplicità pari, il grafico tocca l'asse x in quello zero (e si gira).
• Se uno zero ha molteplicità dispari, il grafico attraversa l'asse x in quello zero.

Conclusione

Gli zeri di un polinomio sono un elemento fondamentale per comprendere e lavorare con le funzioni polinomiali. Con il loro aiuto, possiamo fattorizzare polinomi, analizzare l'andamento dei loro grafici e risolvere equazioni. La connessione tra zeri e fattori consente una chiara scomposizione di espressioni anche più complesse.