Introduzione alle Successioni

Definizione Base e Concetto

Una successione è una lista ordinata di numeri dove ogni elemento è determinato da un posto o posizione specifica. Solitamente denotiamo le successioni con il simbolo a_n, dove n ∈ N (numeri naturali) rappresenta il numero sequenziale (indice), e a_n è l'n-esimo termine della successione. Una successione può essere definita in due modi:

1. Con una formula esplicita, dove ogni termine è espresso direttamente come funzione di n.
2. Ricorsivamente, dove il primo (o primi) termine è definito, insieme a una regola per calcolare il termine successivo dal termine (o termini) precedente.

Esempio di successione definita da formula esplicita:

a_n = n^2 dà la successione (1, 4, 9, 16, 25, ...)

Tipi di Successioni

Successione Aritmetica

Ogni termine successivo differisce dal precedente per lo stesso numero costante 'd' (differenza comune):

a_n = a_1 + (n - 1) * d

Esempio: 3, 7, 11, 15, ... (dove d = 4)

Successione Geometrica

Ogni termine successivo è ottenuto moltiplicando il termine precedente per lo stesso numero costante 'q' (rapporto comune):

a_n = a_1 * q^(n-1)

Esempio: 2, 4, 8, 16, ... (dove q = 2)

Successione Costante

Tutti i termini sono uguali:

a_n = c (dove c è una costante)

Successione Alternante

I valori dei termini alternano in un modello prescritto – spesso nel segno.

Esempio: a_n = (-1)^n dà la successione (-1, 1, -1, 1, ...)

Modi di Definire le Successioni

• ESPLICITAMENTE: Forniamo una formula per il termine generale a_n come funzione di n.

Esempio: a_n = 3n - 1

• RICORSIVAMENTE: Definiamo il termine iniziale (o diversi termini iniziali) e una regola su come ottenere il termine successivo.

Esempio: a_1 = 2, a_(n+1) = a_n + 5

Crescenti, Decrescenti e Limitatezza

Una successione è:

• CRESCENTE se a_n < a_(n+1) per tutti gli n.
• DECRESCENTE se a_n > a_(n+1) per tutti gli n.
• LIMITATA se esistono numeri reali m e M tali che: m <= a_n <= M per tutti gli n.

Esempio di successione crescente: a_n = n

Esempio di successione limitata: a_n = 1/n (limitata tra 0 (escluso per n>0) e 1 (incluso))

Conclusione

Le successioni rappresentano un concetto fondamentale nell'analisi matematica e matematica discreta. Consentono una notazione strutturata di serie numeriche, lo studio delle loro proprietà e comportamento, e preparazione per ulteriori concetti come serie, limiti di successioni e analisi funzionale. Comprendere diverse forme di successioni e modi di definirle è fondamentale per ulteriori lavori in molti campi matematici.