Funzioni Trigonometriche

Definizione e Connessione al Cerchio Unitario

Le funzioni trigonometriche sono funzioni di un angolo che calcolano rapporti tra i lati di un triangolo rettangolo o valori di coordinate sul cerchio unitario. Sono definite per angoli reali (in radianti o gradi) e si ripetono periodicamente. Le funzioni trigonometriche di base sono:

• seno (sin)
• coseno (cos)
• tangente (tan)
• cotangente (cot)

Tutte e quattro sono definite per diversi insiemi di valori angolari, con tangente e cotangente che hanno punti specifici dove non sono definite (dove si verifica la divisione per zero).

Definizione Geometrica

In un triangolo rettangolo con un angolo acuto α:

• sin α = cateto opposto / ipotenusa
• cos α = cateto adiacente / ipotenusa
• tan α = cateto opposto / cateto adiacente
• cot α = cateto adiacente / cateto opposto

Queste definizioni sono valide per angoli tra 0° e 90° o 0 e π/2 radianti. Per valori più ampi, le funzioni trigonometriche sono definite usando il cerchio unitario.

Cerchio Unitario

Sul cerchio unitario (raggio = 1), per un angolo α:

• Un punto sul cerchio ha coordinate (cos α, sin α).
• tan α = sin α / cos α, se cos α ≠ 0.
• cot α = cos α / sin α, se sin α ≠ 0.

Le funzioni sono definite per tutti gli angoli reali, eccetto nei punti dove si verifica la divisione per zero.

Proprietà Base

• sin α e cos α sono limitati tra -1 e 1.
• tan α e cot α sono illimitati.
• sin α è una funzione dispari (sin(-α) = -sin(α)), cos α è una funzione pari (cos(-α) = cos(α)).
• Le funzioni sono periodiche:
• sin e cos: periodo 2π
• • tan e cot: periodo π

Valori per Angoli Speciali

Per gli angoli 0, π/6 (30°), π/4 (45°), π/3 (60°), π/2 (90°), i valori sono noti e frequentemente usati:

• sin(π/6) = 1/2, cos(π/6) = sqrt(3)/2
• sin(π/4) = sqrt(2)/2, cos(π/4) = sqrt(2)/2
• sin(π/3) = sqrt(3)/2, cos(π/3) = 1/2

Da questi, tan e cot possono essere calcolati dove definiti.

Identità Trigonometriche

• IDENTITÀ PITAGORICA: sin^2 α + cos^2 α = 1
• TANGENTE E SENO/COSENO: tan α = sin α / cos α
• COTANGENTE E COSENO/SENO: cot α = cos α / sin α
• PROPRIETÀ DI SIMMETRIA: sin(-α) = -sin α, cos(-α) = cos α

Conclusione

Le funzioni trigonometriche descrivono i rapporti base tra i lati di un triangolo rettangolo o valori sul cerchio unitario. Sono periodiche, continue (eccetto dove non sono definite) e fondamentali per l'analisi trigonometrica. Il loro comportamento è determinato precisamente da simmetria, identità e la loro connessione al sistema di coordinate.