Grafico – Seno e Coseno

Introduzione alle Funzioni Periodiche

In matematica, incontriamo spesso funzioni che si ripetono periodicamente. Tra i rappresentanti più importanti di tali funzioni ci sono le funzioni seno e coseno. Entrambe appartengono alle funzioni trigonometriche, la cui caratteristica principale è la periodicità, poiché i loro valori si ripetono a intervalli regolari. Questo significa che esiste una costante T per cui f(x + T) = f(x) per tutti i valori della variabile x.

Forma e Proprietà della Funzione Seno

La funzione seno è solitamente scritta come f(x) = sin(x). Il suo grafico ha una forma ondulata che inizia dall'origine (0, 0), sale a un valore massimo di 1 in x = π/2, ritorna all'origine in x = π, poi scende a un valore minimo di -1 in x = 3π/2, e completa un periodo completo in x = 2π. Il periodo della funzione è quindi 2π. I valori della funzione sono limitati tra -1 e 1, il che significa che il suo codominio è l'intervallo [-1, 1].

Forma e Proprietà della Funzione Coseno

La funzione coseno è data come f(x) = cos(x). La sua forma è simile alla funzione seno, ma il suo grafico inizia al valore massimo di 1 in x=0, raggiunge 0 in x = π/2, scende a -1 in x = π, raggiunge di nuovo 0 in x = 3π/2, e completa il suo periodo a 1 quando x = 2π. Anche qui, il periodo è 2π, e i valori giacciono anche nell'intervallo [-1, 1]. Questa funzione è pari, il che significa cos(-x) = cos(x).

Forma Generale e Parametri

Entrambe le funzioni possono essere scritte in una forma più generale: f(x) = A * sin(Bx + C) + D o f(x) = A * cos(Bx + C) + D.

I parametri hanno i seguenti significati:

• A determina l'ampiezza, cioè la massima deviazione dall'asse centrale (se A = 2, allora il grafico oscilla tra -2 e 2, assumendo D=0).
• B influisce sulla periodicità: il nuovo periodo diventa 2π / |B|.
• C influenza lo spostamento orizzontale (spostamento di fase). Un C positivo spesso indica uno spostamento a sinistra, ma questo dipende da come Bx+C è fattorizzato (ad esempio, B(x + C/B)).
• D sposta il grafico verticalmente verso l'alto o verso il basso (spostamento verticale).

Esempio di Calcolo e Grafico

Prendiamo la funzione f(x) = 2 * sin(x - π/2) + 1. Qui:

• A = 2 → l'ampiezza è 2.
• B = 1 → il periodo rimane 2π.
• Il termine (x - π/2) indica uno spostamento di fase. C (se pensiamo Bx+C) sarebbe correlato a -π/2. Specificamente, x - π/2 significa che il grafico è spostato a destra di π/2.
• D = 1 → l'intero grafico è spostato verso l'alto di 1 unità.

Il grafico di questa funzione, quindi, varia tra 2*(-1)+1 = -1 e 2*(1)+1 = 3, e ha la stessa forma di base della funzione seno ma è spostato e allungato verticalmente.

Conclusione

I grafici discussi sono esempi fondamentali di funzioni periodiche in matematica. La loro forma regolare, simmetria e struttura chiara consentono un'analisi e una trasformazione facili, permettendo una comprensione più profonda del loro comportamento in vari contesti.