Definizione di un Vettore

Definizione Base

Un vettore è un oggetto matematico determinato da direzione e grandezza (lunghezza). È usato per descrivere una quantità diretta – il che significa che oltre a un valore (lunghezza), contiene anche informazioni sulla direzione in cui agisce. In un piano o nello spazio, un vettore è spesso rappresentato come un segmento di linea diretto con una punta di freccia.

Da un punto di vista matematico, un vettore è definito come una coppia ordinata (in un piano) o una tripla ordinata (nello spazio) di numeri reali, che rappresentano le coordinate del suo orientamento rispetto a un'origine.

• In un piano, lo denotiamo come v = (x, y).
• Nello spazio, come v = (x, y, z). Qui, x, y e z sono le componenti del vettore.

Componenti di un Vettore

• PUNTO INIZIALE (da cui il vettore ha origine, se rappresenta lo spostamento tra due punti specifici).
• PUNTO TERMINALE (dove il vettore punta, se rappresenta lo spostamento).
• COMPONENTI – Se un vettore rappresenta lo spostamento dal punto A(x₁, y₁, z₁) al punto B(x₂, y₂, z₂), le sue componenti sono (x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁). Spesso, i vettori sono considerati dall'origine (0,0,0), nel qual caso le loro componenti sono le coordinate del loro punto terminale.
• GRANDEZZA (anche norma o lunghezza), denotata da |v|.

La grandezza di un vettore v = (x, y) in un piano è calcolata come:

|v| = √(x^2 + y^2)

E per un vettore v = (x, y, z) nello spazio:

|v| = √(x^2 + y^2 + z^2)

Esempio di Calcolo

Sia dato il vettore a = (3, 4). La sua grandezza è calcolata come:

|a| = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Questo significa che il vettore a ha una grandezza di 5 unità e, se parte dall'origine, è diretto verso il punto (3, 4).

Conclusione

Questo oggetto matematico è fondamentale per descrivere direzione e grandezza in molte costruzioni geometriche e algebriche. È composto da componenti lungo ogni asse coordinato, il che consente di gestirlo in un piano o nello spazio usando operazioni aritmetiche standard come addizione, moltiplicazione scalare e calcolo della sua lunghezza.