Pendenza della Tangente e della Retta Normale

Concetti Base dell'Analisi Grafica

Quando si studiano funzioni e i loro grafici, siamo spesso interessati all'orientamento della linea che "tocca" il grafico in un punto specifico. Questa linea è chiamata tangente. La linea perpendicolare alla tangente nello stesso punto è chiamata normale. Entrambe le linee sono definite dalla loro pendenza (o gradiente), che misura l'inclinazione della linea rispetto all'asse orizzontale.

Pendenza della Retta Tangente

La tangente al grafico di una funzione in un certo punto è una linea che tocca il grafico in quel punto e ha la stessa pendenza della funzione in quel punto. La pendenza della retta tangente in un punto x₀ è uguale al valore della derivata della funzione f in x₀, quindi:

k_t = f'(x₀) (dove k_t è la pendenza della tangente)

Questo significa che se abbiamo una data funzione f e calcoliamo la sua derivata, il valore della derivata nel punto scelto ci dà la pendenza della tangente.

Pendenza della Retta Normale

La retta normale è una linea che passa attraverso lo stesso punto della tangente ma è perpendicolare ad essa. Se la tangente è crescente, la normale è decrescente, e viceversa. Matematicamente, la pendenza della retta normale è data da:

k_n = -1 / f'(x₀), purché f'(x₀) ≠ 0. (dove k_n è la pendenza della normale)

Quindi, la pendenza della normale è definita solo nei punti dove la tangente è definita e la sua pendenza non è uguale a 0. Se f'(x₀) = 0, allora la retta tangente è orizzontale, e la retta normale è verticale (e non ha una pendenza definita nella forma y=mx+b).

Esempio: Funzione F(X) = X² nel Punto X = 1

Prima, calcoliamo la derivata: f'(x) = 2x. In x = 1, la derivata è f'(1) = 2(1) = 2.

Pertanto, la pendenza della retta tangente è k_t = 2. La pendenza della retta normale è: k_n = -1 / 2.

Il punto sul grafico è (1, f(1)) = (1, 1^2) = (1, 1).

L'equazione della retta tangente in (1, 1) è: y - y₁ = k_t(x - x₁) y - 1 = 2(x - 1) → y = 2x - 2 + 1 → y = 2x - 1.

L'equazione della retta normale in (1, 1) è: y - y₁ = k_n(x - x₁) y - 1 = (-1/2)(x - 1) → y = (-1/2)x + 1/2 + 1 → y = -0.5x + 1.5.

Conclusione

La pendenza della retta tangente è uguale al valore della derivata della funzione in un punto specifico. La retta normale, essendo perpendicolare alla tangente, ha una pendenza che è il reciproco negativo della pendenza della tangente, purché la pendenza della tangente esista e non sia zero. Entrambe le pendenze sono fondamentali per descrivere la geometria locale del grafico di una funzione.