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L'insieme di tutti i polinomi con coefficienti reali forma un'importante struttura algebrica che consente di eseguire operazioni aritmetiche di base. Ogni polinomio può essere scritto come:
P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_n*x^n,
dove a_i ∈ R e n ∈ N_0. Queste espressioni possono essere sommate, sottratte, moltiplicate e divise per altri polinomi. Il risultato di ciascuna di queste operazioni (eccetto la divisione con resto) è di nuovo un polinomio.
I polinomi sono sommati o sottratti termine per termine, il che significa che combiniamo i coefficienti con la stessa potenza della variabile.
Esempio:
P(x) = 2x^2 + 3x - 1 Q(x) = x^2 - 5x + 4
P(x) + Q(x) = (2x^2 + x^2) + (3x - 5x) + (-1 + 4) = 3x^2 - 2x + 3
La sottrazione funziona allo stesso modo, considerando il cambio di segni.
La moltiplicazione segue la legge distributiva: ogni termine del primo polinomio è moltiplicato per ogni termine del secondo, e poi il risultato è semplificato.
Esempio:
P(x) = x + 2 Q(x) = x - 3
P(x)Q(x) = xx + x*(-3) + 2x + 2(-3) = x^2 - x - 6
Nell'insieme dei polinomi con coefficienti reali, il risultato è sempre un nuovo polinomio.
Dividere un polinomio per un altro (di grado inferiore o uguale) funziona in modo simile alla divisione dei numeri, usando il processo di divisione lunga con resto.
Esempio: Dividere P(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2 per D(x) = x - 1
Eseguendo la divisione, otteniamo:
P(x) = (x - 1)*(x^2 + 3x + 2) + 0
Risultato: il quoziente è x^2 + 3x + 2, e il resto è 0.
Se il resto non è zero, può essere scritto come frazione:
P(x)/D(x) = quoziente + (resto / D(x))
Per i polinomi, valgono le seguenti proprietà:
Le operazioni nell'insieme dei polinomi sono operazioni algebriche di base eseguite all'interno di una struttura matematica unificata. Queste operazioni seguono le proprietà dei sistemi numerici e formano il fondamento per ulteriori studi di equazioni, funzioni e strutture algebriche. Ogni operazione, dall'addizione alla divisione, preserva la struttura e la natura sistematica caratteristica dei polinomi.