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"Per la prossima generazione."
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Una funzione razionale è data nella forma:
f(x) = P(x) / Q(x),
dove P(x) e Q(x) sono polinomi, e Q(x) ≠ 0. Il suo grafico non è una curva continua come quella dei polinomi ma contiene interruzioni caratteristiche, asintoti, buchi e altri punti speciali. Lo scopo del grafico è mostrare il comportamento della funzione attorno ai suoi zeri e ai punti dove non è definita.
Il dominio Df include tutti i numeri reali tranne quelli dove Q(x) = 0. Questi punti sono esclusi perché la divisione per zero non è consentita.
Esempio: f(x) = (x^2 - 1) / (x - 2) → Q(x) = x - 2 → Df = R \ {2} (tutti i numeri reali tranne 2)
A volte il numeratore e il denominatore possono essere fattorizzati e i fattori comuni cancellati. Ricorda che i punti corrispondenti ai fattori cancellati dal denominatore rappresentano ancora buchi e non sono nel dominio.
Esempio: f(x) = (x^2 - 1) / (x - 2) = [(x - 1)(x + 1)] / (x - 2). (Nessun fattore comune da cancellare qui).
Gli zeri sono le soluzioni all'equazione P(x) = 0, purché Q(x) ≠ 0 in questi punti. Questi punti corrispondono alle intersezioni con l'asse x.
Nell'esempio sopra: P(x) = (x - 1)(x + 1) → Zeri: x = -1, x = 1.
Sostituire x = 0, se 0 ∈ Df:
Esempio: f(0) = (0^2 - 1) / (0 - 2) = -1 / (-2) = 0,5. L'intercetta y è (0, 0,5).
Questi si verificano nei valori di x dove Q(x) = 0 dopo la semplificazione (cioè, il fattore nel denominatore non si è cancellato con uno nel numeratore), e P(x) ≠ 0 in questi valori di x. In questi punti, la funzione tende verso ±∞, e il grafico si avvicina a una linea verticale.
Esempio: Per f(x) = (x^2 - 1)/(x - 2), Q(x) = x - 2 → Asintoto verticale in x = 2.
Questi sono determinati confrontando i gradi del numeratore P(x) e del denominatore Q(x):
Se grado P < grado Q → Asintoto orizzontale y = 0.
Se grado P = grado Q → Asintoto orizzontale y = a_n/b_n (rapporto dei coefficienti principali).
Se grado P > grado Q:
Se grado P = grado Q + 1 → Asintoto obliquo, trovato mediante divisione polinomiale lunga.
Se grado P > grado Q + 1 → Nessun asintoto orizzontale o obliquo (il comportamento è simile a un polinomio).
Esempio: f(x) = (2x^2 + 1) / (x^2 - 3) → grado P = grado Q = 2. Asintoto orizzontale: y = 2/1 = 2.
Se un fattore (x - c) appare sia nel numeratore che nel denominatore e può essere cancellato, allora c'è un buco nel grafico in x = c. La funzione non è definita in x=c, ma il grafico si avvicina al punto che esisterebbe se la funzione fosse definita lì.
Esempio: f(x) = [(x - 1)(x + 2)] / (x - 1). Questo si semplifica in f(x) = x + 2, per x ≠ 1.
→ Il grafico è una linea retta con un buco in x = 1. Per trovare la coordinata y del buco, sostituire x=1 nell'espressione semplificata: y = 1 + 2 = 3. Buco in (1, 3).
A sinistra e a destra di un asintoto verticale, la funzione spesso tende verso +∞ o -∞. Testare i punti per determinare la direzione.
Per valori grandi di |x|, il grafico della funzione "abbraccia" o si avvicina all'asintoto orizzontale o obliquo.
Il segno della funzione può essere determinato negli intervalli tra zeri e asintoti verticali.
f(x) = (x^2 - 4) / (x - 1)
Semplificare: f(x) = [(x - 2)(x + 2)] / (x - 1) (Nessun fattore comune)
Dominio (Df): R \ {1}
Zeri: P(x) = (x - 2)(x + 2) = 0 → x = -2, x = 2.
Intercetta Y: f(0) = (0^2 - 4) / (0 - 1) = -4 / -1 = 4. Punto (0, 4).
Asintoto Verticale: Q(x) = x - 1 = 0 → x = 1.
Asintoto Orizzontale/Obliquo: Il grado di P(x) è 2, il grado di Q(x) è 1. Poiché grado P = grado Q + 1, c'è un asintoto obliquo. Eseguire la divisione polinomiale lunga di (x^2 - 4) per (x - 1).
Il quoziente è x + 1 e il resto è -3.
Quindi, f(x) = x + 1 - 3/(x - 1). L'asintoto obliquo è y = x + 1.
Il grafico di una funzione razionale contiene informazioni importanti su zeri, asintoti, punti di interruzione (discontinuità) e il comportamento della funzione per |x| grandi. Un'analisi attenta del numeratore e del denominatore consente una comprensione grafica completa della funzione. Un'attenzione particolare dovrebbe essere prestata agli asintoti e ai buchi, poiché questi determinano le caratteristiche principali del corso del grafico.
