Asintoti di una Funzione Razionale

Definizione di una Funzione Razionale

Una funzione razionale è una funzione matematica che può essere espressa come il quoziente di due polinomi. Questo significa che una funzione razionale ha la forma f(x) = P(x)/Q(x), dove P(x) e Q(x) sono polinomi, e Q(x) non deve essere il polinomio zero (Q(x) ≠ 0).

Il Concetto di Asintoto

Un asintoto di una funzione razionale è una linea retta che descrive il comportamento del grafico della funzione quando x o f(x) si avvicina a certi valori ma non li raggiunge mai effettivamente. Ci sono tre tipi di asintoti: asintoti verticali, orizzontali e obliqui.

• GLI ASINTOTI VERTICALI si verificano quando la funzione si avvicina all'infinito o al meno infinito quando x si avvicina a un certo valore. Questo accade quando il denominatore Q(x) è uguale a 0, ma il numeratore P(x) non è uguale a 0 allo stesso valore di x (dopo che eventuali fattori comuni sono stati cancellati).
• GLI ASINTOTI ORIZZONTALI descrivono il comportamento del grafico della funzione quando x si avvicina all'infinito o al meno infinito. Un asintoto orizzontale si verifica quando il valore della funzione si avvicina a una certa costante.
• GLI ASINTOTI OBLIQUI sono asintoti che non sono né verticali né orizzontali. Si verificano quando il grado del numeratore P(x) è esattamente uno maggiore del grado del denominatore Q(x).

Come Trovare gli Asintoti di una Funzione Razionale?

• ASINTOTI VERTICALI: Risolvere l'equazione Q(x) = 0. Ogni soluzione 'c' per cui P(c) ≠ 0 (dopo aver semplificato la frazione P(x)/Q(x) cancellando i fattori comuni) sarà la posizione di un asintoto verticale, x = c.
• ASINTOTI ORIZZONTALI:
• • Se il grado del numeratore P(x) è minore del grado del denominatore Q(x), allora y = 0 è l'asintoto orizzontale.
  • Se i gradi sono uguali, l'asintoto orizzontale è y = (coefficiente principale di P(x)) / (coefficiente principale di Q(x)).
  • Se il grado di P(x) è maggiore del grado di Q(x), non c'è asintoto orizzontale.
• ASINTOTI OBLIQUI: Se il grado del numeratore P(x) è esattamente uno maggiore del grado del denominatore Q(x), eseguire la divisione polinomiale lunga per dividere P(x) per Q(x). Il quoziente (che sarà un'equazione lineare della forma y = mx + b) rappresenta l'asintoto obliquo. Il termine resto dovrebbe avvicinarsi a zero quando x si avvicina a ±∞.

Esempio:

Per la funzione f(x) = (2x^2 + 3x - 5) / (x - 1), troviamo gli asintoti.

ASINTOTO VERTICALE:

Impostare il denominatore x - 1 = 0, che dà x = 1. Ora, controllare il valore del numeratore P(x) = 2x^2 + 3x - 5 in x = 1:

P(1) = 2(1)^2 + 3(1) - 5 = 2 + 3 - 5 = 0.

Poiché sia il numeratore che il denominatore sono 0 in x = 1, dovremmo fattorizzare il numeratore:

2x^2 + 3x - 5 = (x - 1)(2x + 5).

Quindi, f(x) = [(x - 1)(2x + 5)] / (x - 1).

Per x ≠ 1, f(x) = 2x + 5.

Poiché il fattore (x-1) si cancella, non c'è asintoto verticale in x = 1. Invece, c'è un buco nel grafico in x = 1. La coordinata y del buco è 2(1) + 5 = 7.

ASINTOTO ORIZZONTALE:

Il grado del numeratore (2) è maggiore del grado del denominatore (1). Pertanto, non c'è asintoto orizzontale.

ASINTOTO OBLIQUO:

Poiché il grado del numeratore è esattamente uno maggiore del grado del denominatore, eseguiamo la divisione polinomiale lunga di (2x^2 + 3x - 5) per (x - 1). La divisione produce un quoziente di 2x + 5 e un resto di 0.

Quindi, f(x) = 2x + 5, per x ≠ 1.

In questo caso particolare, poiché il resto è zero, la funzione stessa si semplifica nella linea y = 2x + 5 (con un buco in x=1). Questa linea è il grafico della funzione, piuttosto che una linea a cui la funzione si avvicina asintoticamente. (Per un tipico asintoto obliquo, la divisione polinomiale risulterebbe in un quoziente lineare mx+b e un resto non zero R(x), quindi f(x) = mx + b + R(x)/Q(x), dove R(x)/Q(x) si avvicina a 0 quando x si avvicina a ±∞. Quindi, y = mx + b sarebbe l'asintoto obliquo.)