Derivata – Esercizio 1

Spiegazione

La derivata misura come cambia una funzione rispetto alla sua variabile. Fornisce pendenze delle tangenti, estremi (massimi e minimi) e punti di flesso. Di seguito un riepilogo essenziale e tre esercizi svolti passo per passo usando la regola di potenza.

Concetti di base

La derivata di f(x) in x è definita come il limite della variazione media quando h tende a 0:

f'(x) = lim_{h->0} ( f(x + h) - f(x) ) / h

Questa definizione è alla base di tutte le regole di derivazione.

Regole di derivazione

• Derivata di una costante: d/dx(c) = 0
• Regola di potenza: d/dx(x^n) = n*x^(n-1)
• Fattore costante: d/dx(kx^n) = kn*x^(n-1)
• Somma e differenza: derivare termine per termine
• Regola del prodotto: d/dx( f(x)*g(x) ) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)
• Regola del quoziente: d/dx( f(x)/g(x) ) = ( f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x) ) / ( g(x) )^2
• Regola della catena: d/dx( f(g(x)) ) = f'(g(x))*g'(x)

Esempi

Esempio 1
f(x) = x^-3. Con n = -3:
f'(x) = -3x^(-3-1) = -3x^-4
(Opzionale) f'(x) = -3/(x^4), con x != 0.

Esempio 2
f(x) = 3x^8 + x^-2. Termino per termine:
d/dx(3x^8) = 38x^(8-1) = 24x^7
d/dx(x^-2) = -2x^(-2-1) = -2x^-3
Insieme: f'(x) = 24x^7 - 2x^-3
(Opzionale) f'(x) = 24x^7 - 2/(x^3), x != 0.

Esempio 3
f(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x^2 + 6x + 8.
d/dx(3x^4) = 12x^3
d/dx(-5x^3) = -15x^2
d/dx(2x^2) = 4x
d/dx(6x) = 6
d/dx(8) = 0
Risultato: f'(x) = 12x^3 - 15x^2 + 4x + 6

Usi delle derivate

Trovano tassi istantanei di variazione, ottimizzazione, concavità e punti di flesso e sono alla base di integrali ed equazioni differenziali.

Conclusione

La padronanza nasce dalla ripetizione. Porta giù l’esponente, sottrai 1, controlla i segni e ricorda: d/dx(x) = 1 e d/dx(costante) = 0.