Regole dei Logaritmi 2

Continuazione delle Proprietà Base dei Logaritmi

Nel primo insieme di regole dei logaritmi, abbiamo appreso le regole base per prodotti, quozienti, potenze, cambio di base e i casi speciali del logaritmo dell'unità e del logaritmo della base. Ora approfondiremo la nostra comprensione di queste regole, specialmente nel contesto di espressioni composte, esponenti negativi, radici, valore assoluto e prendere il logaritmo di entrambi i lati di un'equazione.

Logaritmi di Radici

Poiché una radice può essere scritta come una potenza, usiamo la regola della potenza:

sqrt(x) = x^(1/2), quindi:

log_b(sqrt(x)) = log_b(x^(1/2)) = (1/2) * log_b(x)

Per una radice n-esima:

radice n-esima di x = x^(1/n), quindi:

log_b(radice n-esima di x) = (1/n) * log_b(x)

Esempio:

log_3(sqrt(9)) = log_3(9^(1/2)) = (1/2) * log_3(9) = (1/2) * 2 = 1

Esponente Negativo nel Logaritmo

Se abbiamo un logaritmo di una potenza con esponente negativo, applichiamo anche la regola della potenza:

log_b(x^(-n)) = -n * log_b(x)

Esempio:

log_10(10^(-2)) = -2 * log_10(10) = -2 * 1 = -2

Logaritmo del Valore Assoluto

Il logaritmo è definito solo per argomenti positivi; pertanto, in alcuni contesti, usiamo il valore assoluto:

Quando la forma generale della funzione è espressa, è spesso il caso che per un'espressione come log_b(|x|), la definizione è valida per valori negativi di x perché stiamo solo prendendo il logaritmo della parte positiva (il valore assoluto).

Esempio:

log_10(-5) → non definito nei numeri reali log_10(|-5|) = log_10(5) → definito

Prendere il Logaritmo di Entrambi i Lati di un'Equazione

Una tecnica importante per risolvere equazioni dove l'incognita è nell'esponente è prendere il logaritmo di entrambi i lati:

Se a^x = b, allora possiamo applicare un logaritmo di qualsiasi base conveniente (comunemente log base 10, o ln base e) a entrambi i lati:

log(a^x) = log(b)

Usando la regola della potenza, questo diventa:

x * log(a) = log(b)

Quindi:

x = log(b) / log(a)

Esempio:

3^x = 81

Prendere log base 10 di entrambi i lati:

log_10(3^x) = log_10(81)

Applicare la regola della potenza:

x * log_10(3) = log_10(81)

Risolvere per x:

x = log_10(81) / log_10(3) ≈ 1,908 / 0,477 ≈ 4

(In alternativa, nota che 81 = 3^4, quindi 3^x = 3^4, quindi x = 4 direttamente equiparando gli esponenti se le basi sono le stesse).

Ripetizioni e Punti Chiave

• Una radice può essere scritta come una potenza con esponente 1/n (ad esempio, radice n-esima di x = x^(1/n)).
• Il logaritmo di un numero negativo non è definito nei numeri reali.
• In espressioni che coinvolgono una potenza all'interno di un logaritmo, l'esponente viene portato giù davanti al logaritmo come moltiplicatore.
• Prendere il logaritmo di entrambi i lati di un'equazione è fondamentale per risolvere equazioni esponenziali.

Conclusione

Il secondo gruppo di regole per i logaritmi estende la conoscenza base verso la risoluzione di espressioni ed equazioni più complesse. Usando logaritmi di radici, esponenti negativi, valore assoluto e prendendo il logaritmo di entrambi i lati delle equazioni, otteniamo strumenti avanzati che sono essenziali per lavorare con espressioni esponenziali e la funzione logaritmica. Queste regole sono particolarmente importanti per la risoluzione analitica di problemi, modellazione dei dati e preparazione per contenuti matematici più complessi.